線性代數

向量可以描述什麼？我們又能用向量建造什麼？

0. 1.0開場：什麼是向量？
1. 1.1箭頭、移動與座標
2. 1.2向量加法
3. 1.3縮放向量
4. 1.4線性組合
5. 1.5我們能到達哪裡？
6. 1.6初遇張成
7. 1.7座標是描述
8. 1.8Python 實驗室：向量運算
9. 1.9證明實驗室：小證明
10. 1.10常見陷阱
11. 1.11練習題組
12. 1.12章末檢查
13. 1.13下一站

哪些方向真正帶來新的資訊？

1. 2.1把張成看成生成的世界
2. 2.2多餘的方向
3. 2.3線性相關
4. 2.4線性獨立
5. 2.5基底的直觀版本
6. 2.6相對於基底的座標
7. 2.7不同基底，同一空間
8. 2.8Python 實驗室：獨立性與座標
9. 2.9練習

「線性」在幾何與代數上究竟是什麼意思？

1. 3.1移動整個空間
2. 3.2縮放、旋轉、反射、剪切與投影
3. 3.3格線直觀
4. 3.4可加性
5. 3.5齊次性
6. 3.6線性映射的正式定義
7. 3.7基底決定一個映射
8. 3.8合成
9. 3.9單射與滿射的直觀
10. 3.10互動變換實驗室
11. 3.11練習

矩陣從哪裡來？

1. 4.1基底向量的像成為矩陣的行
2. 4.2矩陣乘向量就是行向量組合
3. 4.3長方形矩陣
4. 4.4改變維度的映射
5. 4.5矩陣元素作為座標
6. 4.6矩陣加法與純量乘法
7. 4.7單位、零、對角、三角與置換矩陣
8. 4.8行與列的兩種觀點
9. 4.9Python 實驗室：矩陣乘向量
10. 4.10練習

1. 5.1合成變成乘法
2. 5.2為什麼次序重要
3. 5.3按行理解矩陣乘法
4. 5.4列行規則
5. 5.5從合成理解結合律
6. 5.6單位矩陣
7. 5.7反變換
8. 5.8反矩陣
9. 5.9反矩陣何時不存在
10. 5.10Python 實驗室：矩陣乘法
11. 5.11練習

1. 6.1Ax = b 的三種觀點
2. 6.2方程觀點
3. 6.3行向量組合觀點
4. 6.4變換與原像觀點
5. 6.5齊次方程組
6. 6.6非齊次方程組
7. 6.7相容性
8. 6.8無解、唯一解與無限多解
9. 6.9特解加齊次解
10. 6.10初遇零空間與行空間
11. 6.11練習

1. 7.1高斯消去法
2. 7.2初等列運算
3. 7.3階梯形
4. 7.4樞紐與自由變數
5. 7.5秩就是樞紐數量
6. 7.6初等矩陣
7. 7.7把消去看成乘法
8. 7.8LU 分解
9. 7.9選樞紐與 PA = LU
10. 7.10行－列分解 A = CR
11. 7.11浮點數警告
12. 7.12Python 專案：高斯消去法
13. 7.13練習

拿走箭頭與座標之後，還剩下什麼？

1. 8.1從前幾章抽取規則
2. 8.2實向量空間的定義
3. 8.3多項式作為向量
4. 8.4函數作為向量
5. 8.5矩陣作為向量
6. 8.6數列作為向量
7. 8.7輕輕談域
8. 8.8子空間
9. 8.9子空間的和
10. 8.10直和
11. 8.11仿射集合不是子空間
12. 8.12練習

1. 9.1抽象地重訪線性映射
2. 9.2核：被消滅的資訊
3. 9.3像：可到達的輸出
4. 9.4核與單射
5. 9.5像與滿射
6. 9.6矩陣的零空間與行空間
7. 9.7列空間
8. 9.8左零空間
9. 9.9重訪線性映射的矩陣
10. 9.10練習

1. 10.1基底的正式版本
2. 10.2有限維空間
3. 10.3維度
4. 10.4延伸線性獨立組
5. 10.5縮減生成組
6. 10.6秩是像的維度
7. 10.7零度
8. 10.8秩－零度定理
9. 10.9矩陣子空間的維度
10. 10.10極大線性獨立組
11. 10.11練習

改變座標時，什麼改變，什麼保持不變？

1. 11.1向量不是它的座標組
2. 11.2座標映射
3. 11.3同一向量，不同基底
4. 11.4換座標矩陣
5. 11.5任意基底下映射的矩陣
6. 11.6相似矩陣
7. 11.7好基底為何重要
8. 11.8Python 實驗室：座標與相似
9. 11.9練習

1. 12.1有向面積
2. 12.2有向體積
3. 12.3行列式作為縮放倍率
4. 12.4行列式與可逆性
5. 12.5乘法性
6. 12.6列運算
7. 12.7餘因子展開
8. 12.8體積應用
9. 12.9簡談克拉默法則
10. 12.10選讀：交替多線性觀點
11. 12.11Python 實驗室：行列式演算法
12. 12.12練習

1. 13.1不變方向
2. 13.2特徵向量與特徵值
3. 13.3特徵空間
4. 13.4矩陣表述
5. 13.5特徵多項式
6. 13.6計算特徵向量
7. 13.7不同特徵值帶來獨立特徵向量
8. 13.8旋轉打破實數故事
9. 13.9複數自然登場
10. 13.10複特徵值
11. 13.11重複施行變換
12. 13.12馬可夫鏈預告
13. 13.13Python 實驗室：冪迭代
14. 13.14練習

1. 14.1不變子空間
2. 14.2對角矩陣
3. 14.3把對角化看成選擇基底
4. 14.4可對角化的條件
5. 14.5代數重數與幾何重數
6. 14.6矩陣的冪
7. 14.7微分方程應用
8. 14.8對角化何時失敗
9. 14.9約當標準形預告
10. 14.10練習

1. 15.1點積的幾何意義
2. 15.2長度
3. 15.3角度
4. 15.4正交
5. 15.5抽象內積
6. 15.6範數
7. 15.7柯西－施瓦茨不等式
8. 15.8正交補
9. 15.9線性泛函與對偶的影子
10. 15.10複內積
11. 15.11練習

1. 16.1標準正交座標為何特別
2. 16.2標準正交組
3. 16.3標準正交基
4. 16.4座標變成內積
5. 16.5Gram–Schmidt 過程
6. 16.6QR 分解
7. 16.7正交矩陣
8. 16.8酉矩陣
9. 16.9數值穩定性預告
10. 16.10Python 實驗室：Gram–Schmidt 與 QR
11. 16.11練習

1. 17.1投影到直線
2. 17.2投影到子空間
3. 17.3投影矩陣
4. 17.4正交分解
5. 17.5當 Ax = b 無解
6. 17.6最小平方法
7. 17.7正規方程
8. 17.8資料擬合
9. 17.9偽反矩陣
10. 17.10數值警告：別膜拜正規方程
11. 17.11Python 專案：擬合含雜訊資料
12. 17.12練習

1. 18.1重訪轉置
2. 18.2伴隨算子
3. 18.3自伴算子
4. 18.4對稱矩陣
5. 18.5正規算子
6. 18.6正算子
7. 18.7正定矩陣
8. 18.8Cholesky 分解
9. 18.9能量與共變異數詮釋
10. 18.10練習

1. 19.1對稱矩陣為何特別
2. 19.2特徵空間的正交性
3. 19.3實頻譜定理
4. 19.4正交對角化
5. 19.5複頻譜定理
6. 19.6正規算子
7. 19.7從頻譜看正算子
8. 19.8特徵空間的幾何
9. 19.9練習

1. 20.1從 xᵀAx 走向幾何
2. 20.2雙線性形式
3. 20.3對稱雙線性形式
4. 20.4二次型
5. 20.5主軸
6. 20.6正交化為標準形
7. 20.7配方法
8. 20.8正定二次型
9. 20.9慣性
10. 20.10最佳化與 Hessian 預告
11. 20.11Python 實驗室：分類二次型
12. 20.12練習

1. 21.1每個矩陣都有幾何故事
2. 21.2單位球變成橢球
3. 21.3奇異值
4. 21.4右奇異向量
5. 21.5左奇異向量
6. 21.6從 A*A 推導
7. 21.7線性映射的 SVD
8. 21.8矩陣的 SVD
9. 21.9從 SVD 看秩與零度
10. 21.10重訪偽反矩陣
11. 21.11最佳低秩近似
12. 21.12主成分分析
13. 21.13影像壓縮
14. 21.14Python 終極專案：截斷 SVD
15. 21.15練習

這些結構離開課堂後去了哪裡？

1. 22.1微分方程
2. 22.2馬可夫鏈
3. 22.3Perron–Frobenius 直觀
4. 22.4電腦圖形學
5. 22.5影像壓縮
6. 22.6主成分分析與共變異數
7. 22.7最佳化
8. 22.8線性規劃與對偶預告
9. 22.9神經網路的線性層
10. 22.10條件數與數值穩定性
11. 22.11迭代法預告
12. 22.12終極專案展廊