用 Python 計數與模擬

填空

Python 會顯示什麼？索引

Python 會顯示什麼？

>>> v = [3, 1, 4, 1, 5, 9]
>>> v[1]

你的答案

可以輸入整數、小數或分數，例如 1/2。這題需要精確值。

提示

1

Python 的位置從 0 開始編號，不是從 1。

2

v[0] 是 3，下一個是什麼？

參考解答

1。Python 的位置從 0 開始，所以 v[1] 是第二個元素。在 R 裡，v[1] 則是第一個元素 3。

來源: Adapted from Blitzstein & Hwang, Introduction to Probability, §1.8 (R), rewritten in Python · Original exercise; the book's R examples are paraphrased, not copied

單選

Python 會顯示什麼？沒有循環使用

這裡會發生什麼事？

>>> v = [3, 1, 4]
>>> v + 3

選擇一個答案。

[6, 4, 7]

[3, 1, 4, 3]

TypeError 錯誤

提示

1

兩個串列之間的 + 會把它們接起來。3 是串列嗎？

2

Python 不會把較短的值重複到和較長的一樣長。

參考解答

Python 會引發 TypeError: can only concatenate list (not "int") to list。對串列而言，+ 是串接，兩邊都必須是串列。要讓每個元素加 3，寫成 [x + 3 for x in v]，得到 [6, 4, 7]。

來源: Adapted from Blitzstein & Hwang, Introduction to Probability, §1.8 (R), rewritten in Python · Original exercise; the book's R examples are paraphrased, not copied

Python

用遞迴計算二項式係數

用遞迴完成 choose(n, k)，依據巴斯卡法則 $\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}$ 。不要使用 math.comb 或階乘。 $k<0$ 或 $k>n$ 時傳回 0。

你的 Python 程式

Python 函式練習。Tab 會移動焦點；選取程式行後，可用按鈕調整縮排。

公開測試

1. Small case

>>> choose(5, 2)
10

2. Middle of a row

>>> choose(10, 5)
252

3. Choose none or all

>>> choose(4, 0)
1
>>> choose(4, 4)
1

4. Too many

>>> choose(3, 5)
0

輸出與測試詳情

提示

1

有兩種基本情況：不可能的選法，以及一個都不選或全選。

2

$k$ 為 0 或等於 $n$ 時，恰好只有一種選法。

3

其他情況，傳回兩個較小 choose 呼叫的和。

參考解答

def choose(n, k):
    if k < 0 or k > n:
        return 0
    if k == 0 or k == n:
        return 1
    return choose(n - 1, k - 1) + choose(n - 1, k)

第一個基本情況處理不可能的要求，第二個是巴斯卡三角形的邊緣。每次遞迴呼叫都會讓 $n$ 變小，所以遞迴一定會結束。它會重複計算很多次， $n$ 小時沒有問題，這也正是之後學習記憶化（memoization）的好理由。

來源: Adapted from Blitzstein & Hwang, Introduction to Probability, §1.8 (R), rewritten in Python · Original exercise; the book's R examples are paraphrased, not copied

填空

Python 會顯示什麼？把真假值相加

Python 會顯示什麼？

>>> deck = [2, 1, 3, 4]
>>> sum([card == position for position, card in enumerate(deck, start=1)])

你的答案

可以輸入整數、小數或分數，例如 1/2。這題需要精確值。

提示

1

裡面的串列是 [False, False, True, True]。

2

在算術中，True 當作 1，False 當作 0。

參考解答

2。3 號和 4 號牌在自己的位置上，所以串列是 [False, False, True, True]，加總就是在數 True 的個數。

來源: Adapted from Blitzstein & Hwang, Introduction to Probability, §1.8 (R), rewritten in Python · Original exercise; the book's R examples are paraphrased, not copied

Python

數出配對數

完成 count_fixed_points(deck)。deck 依翻開順序列出牌；第 $i$ 張翻開的若是 $i$ 號牌，就算一次配對。請傳回配對的次數。

你的 Python 程式

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公開測試

1. Every card matches

>>> count_fixed_points([1, 2, 3])
3

2. One match

>>> count_fixed_points([2, 1, 3])
1

3. No matches

>>> count_fixed_points([3, 1, 2])
0
>>> count_fixed_points([2, 1])
0

4. Empty deck

>>> count_fixed_points([])
0

輸出與測試詳情

提示

1

enumerate(deck, start=1) 會同時給出每個位置和那張牌。

2

把每張牌和它的位置比較，再把結果加總。

參考解答

def count_fixed_points(deck):
    return sum(card == position for position, card in enumerate(deck, start=1))

每次比較的結果是 True 或 False，sum 會把它們當作 1 或 0。空的牌堆沒有配對，加總為 0。

來源: Adapted from Blitzstein & Hwang, Introduction to Probability, §1.8 (R), rewritten in Python · Original exercise; the book's R examples are paraphrased, not copied

Python

需要多少人？

題目已提供 birthday_match(k, days)。請完成 people_needed(p, days)：傳回讓 birthday_match(k, days) 至少為 p 的最小人數 $k\ge1$ 。這正是 R 的 qbirthday 所計算的。假設 $0<p\le1$ 。

你的 Python 程式

Python 函式練習。Tab 會移動焦點；選取程式行後，可用按鈕調整縮排。

公開測試

1. Even odds

>>> people_needed(0.5)
23

2. Ninety percent

>>> people_needed(0.9)
41

3. Ninety-nine percent

>>> people_needed(0.99)
57

4. A shorter year

>>> people_needed(0.5, days=2)
2

輸出與測試詳情

提示

1

從一個人開始，逐次加人，直到機率夠大。

2

適合用 while 迴圈：當 birthday_match(k, days) < p 時就繼續。

參考解答

def people_needed(p, days=365):
    k = 1
    while birthday_match(k, days) < p:
        k += 1
    return k

迴圈一定會停：有 days + 1 個人時必定有人同天生日，機率會達到 1。

來源: Adapted from Blitzstein & Hwang, Introduction to Probability, §1.8 (R), rewritten in Python · Original exercise; the book's R examples are paraphrased, not copied