用 Python 看條件機率

單選

Python 會顯示什麼？比較一個串列

Python 會顯示什麼？

>>> child1 = [1, 2, 1]
>>> child1 == 1

選擇一個答案。

[True, False, True]

False

TypeError 錯誤

提示

1

Python 的 == 會拿左邊的整個值和右邊的整個值比較。

2

一個串列可能等於一個數字嗎？

參考解答

False。Python 把整個串列 [1, 2, 1] 和數字 1 比較，兩者不相等。它不會逐元素比較；在 R 裡，child1 == 1 則會得到 TRUE FALSE TRUE。要得到 [True, False, True]，請寫 [c == 1 for c in child1]。

來源: Adapted from Blitzstein & Hwang, Introduction to Probability, Chapter 2 and §2.10 (R), rewritten in Python · Original exercise; the book's R examples are paraphrased, not copied

填空

Python 會顯示什麼？用 and 計數

Python 會顯示什麼？

>>> pairs = [(1, 1), (1, 2), (2, 1), (1, 1)]
>>> sum([c1 == 1 and c2 == 1 for c1, c2 in pairs])

你的答案

可以輸入整數、小數或分數，例如 1/2。這題需要精確值。

提示

1

生成式的結果是 [True, False, False, True]。

2

sum 把每個 True 當作 1。

參考解答

2。只有第一組和最後一組的兩個值都是 1，所以串列是 [True, False, False, True]，加總為 2。這就是 $A$ ＝兩個都是女孩時的 $n_{AB}$ 。

來源: Adapted from Blitzstein & Hwang, Introduction to Probability, Chapter 2 and §2.10 (R), rewritten in Python · Original exercise; the book's R examples are paraphrased, not copied

Python

估計條件機率

完成 conditional_frequency(outcomes, a, b)。a 和 b 是述詞，也就是接收一個結果、傳回 True 或 False 的函式。請傳回 $n_{AB}/n_B$ ：兩者都成立的結果數，除以 b 成立的結果數。如果 b 從未成立，傳回 None。

你的 Python 程式

Python 函式練習。Tab 會移動焦點；選取程式行後，可用按鈕調整縮排。

公開測試

1. Elder child is a girl

>>> families = [(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)]
>>> both_girls = lambda f: f == (1, 1)
>>> conditional_frequency(families, both_girls, lambda f: f[0] == 1)
0.5

2. At least one girl

>>> families = [(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)]
>>> both_girls = lambda f: f == (1, 1)
>>> round(conditional_frequency(families, both_girls, lambda f: 1 in f), 3)
0.333

3. B never happens

>>> families = [(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)]
>>> both_girls = lambda f: f == (1, 1)
>>> conditional_frequency(families, both_girls, lambda f: False) is None
True

4. Other outcomes

>>> rolls = [1, 2, 3, 4, 5, 6]
>>> conditional_frequency(rolls, lambda r: r == 6, lambda r: r % 2 == 0)
0.3333333333333333

輸出與測試詳情

提示

1

用 sum(1 for o in outcomes if b(o)) 數出 $n_B$ 。

2

用同樣的方式數出 $n_{AB}$ ，條件改成 a(o) and b(o)。

3

除法之前先檢查 $n_B = 0$ 的情況。

參考解答

def conditional_frequency(outcomes, a, b):
    n_b = sum(1 for o in outcomes if b(o))
    n_ab = sum(1 for o in outcomes if a(o) and b(o))
    return None if n_b == 0 else n_ab / n_b

這個函式對小孩或骰子一無所知，只會呼叫傳進來的述詞；正因如此，一個定義就能回答筆記中的每個問題。

來源: Adapted from Blitzstein & Hwang, Introduction to Probability, Chapter 2 and §2.10 (R), rewritten in Python · Original exercise; the book's R examples are paraphrased, not copied

Python

蒙提會開哪一扇門？

針對 1、2、3 號門，完成 monty_opens(chosen, car)。蒙提從不打開玩家選的門，也不打開有汽車的門。當有兩扇門可以開（玩家正好選中汽車）時，傳回編號較小的那一扇，讓結果可以預測。

你的 Python 程式

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公開測試

1. Only one door allowed

>>> monty_opens(1, 2)
3
>>> monty_opens(2, 1)
3
>>> monty_opens(3, 1)
2

2. Player picked the car

>>> monty_opens(1, 1)
2
>>> monty_opens(2, 2)
1
>>> monty_opens(3, 3)
1

輸出與測試詳情

提示

1

逐一檢查 (1, 2, 3) 中的每扇門，只留下既不是 chosen 也不是 car 的門。

2

對允許的門取 min，就是編號較小的那一扇。

參考解答

def monty_opens(chosen, car):
    return min(door for door in (1, 2, 3) if door != chosen and door != car)

當 chosen != car 時，只有一扇門可以開；兩者相等時有兩扇，min 選編號較小的。實際遊戲中蒙提此時會隨機挑選，筆記中的模擬會把這個隨機性加回去。

來源: Adapted from Blitzstein & Hwang, Introduction to Probability, Chapter 2 and §2.10 (R), rewritten in Python · Original exercise; the book's R examples are paraphrased, not copied

填空

換門獲勝的機率

你選 1 號門，蒙提打開一扇後面是山羊的門，而你永遠選擇換門。你贏得汽車的機率是多少？請以分數作答。

你的答案

可以輸入整數、小數或分數，例如 1/2。這題需要精確值。

提示

1

換門正好在你第一次選錯時會贏。

2

第一次選錯的機率是 $2/3$ 。

參考解答

$2/3$ 。如果第一次就選中汽車（機率 $1/3$ ），換門就會輸。如果第一次選到山羊（機率 $2/3$ ），蒙提只能打開另一扇山羊門，所以你換過去的那扇門後面一定是汽車。筆記中的模擬得到 $0.6690$ 。

來源: Adapted from Blitzstein & Hwang, Introduction to Probability, Chapter 2 and §2.10 (R), rewritten in Python · Original exercise; the book's R examples are paraphrased, not copied

Python

依證據更新機率

完成 bayes_update(prior, p_evidence_if_a, p_evidence_if_not_a)。已知 $P(A)$ 、 $P(E\mid A)$ 與 $P(E\mid A^c)$ ，請用貝氏定理搭配全機率公式傳回 $P(A\mid E)$ 。測試傳入的是 Fraction，所以答案是精確值。假設 $P(E)>0$ 。

你的 Python 程式

Python 函式練習。Tab 會移動焦點；選取程式行後，可用按鈕調整縮排。

公開測試

1. Monday: at least one girl

>>> bayes_update(Fraction(1, 4), 1, Fraction(2, 3))
Fraction(1, 3)

2. Tuesday: the elder is a girl

>>> bayes_update(Fraction(1, 3), 1, Fraction(1, 2))
Fraction(1, 2)

3. Evidence that rules out not-A

>>> bayes_update(Fraction(1, 100), 1, 0)
Fraction(1, 1)

4. Evidence that says nothing

>>> bayes_update(Fraction(1, 5), Fraction(1, 2), Fraction(1, 2))
Fraction(1, 5)

輸出與測試詳情

提示

1

分子是 $P(E\mid A)\,P(A)$ 。

2

分母是在分子之外再加上 $P(E\mid A^c)\,(1-P(A))$ 。

參考解答

def bayes_update(prior, p_evidence_if_a, p_evidence_if_not_a):
    numerator = p_evidence_if_a * prior
    return numerator / (numerator + p_evidence_if_not_a * (1 - prior))

結果仍然是 $A$ 的機率，所以可以直接當成下一次的先驗再傳進去，這就是依序更新。在 $A$ 與非 $A$ 之下同樣可能出現的證據，不會改變先驗。

來源: Adapted from Blitzstein & Hwang, Introduction to Probability, Chapter 2 and §2.10 (R), rewritten in Python · Original exercise; the book's R examples are paraphrased, not copied